בגרות 571 חורף 2026 – סדרה הנדסית אין־סופית וסדרה נוספתסדרות 571 · שיעור 61
חורף 2026, שאלה 2
שיעור 61: בגרות 571 חורף 2026 – סדרה הנדסית אין־סופית וסדרה נוספת
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 571 – סדרות
1נוסח השאלה
2סעיף א – המנה q
3סעיף ב – הערך של a1
4סעיף ג – bn באמצעות n
5סעיף ד – הוכחת הסכום
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שסכומה מתכנס.
המנה של הסדרה היא q.
נסמן ב־T את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה, ונסמן ב־R את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.
נתון: T2R2 = 16.
א. מצאו את הערך של q.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתונה סדרה bn שאיבריה מקיימים bn = 1 + qan · an+1 לכל n טבעי.
נתון: b1 = 1.
ב. מצאו את הערך של a1.
ג. הביעו את bn באמצעות n.
ד. הוכיחו באינדוקצייה או בכל דרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:
📄 נוסח השאלה · המשך
b1 + b2 + ... + bn = 16n − 115
סעיף א – המנה q
האיברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , ... הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1 ומנה q2 (מדלגים כל פעם שני צעדים):
T = a11 − q2
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
האיברים במקומות הזוגיים a2 , a4 , ...: איבר ראשון a2 = a1q, מנה q2:
R = a1q1 − q2
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
TR = a1a1q = 1q
T2R2 = 1q2 = 16
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , |q| < 1
📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q , |q| < 1
סעיף א – המנה q · המשך
T2R2 = 1q2 = 16
q2 = 116
q = 14
או
q = −14
אם q שלילי, סימני האיברים מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי...) והסדרה אינה יורדת. לכן:
סעיף א – המנה q · המשך
אם q שלילי, סימני האיברים מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי...) והסדרה אינה יורדת. לכן:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14
סעיף ב – הערך של a1
נציב n = 1. לפי סעיף א, a2 = a1q = 14a1:
b1 = 1 + qa1 · a2 = 1 + 14a1 · 14a1
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
1 = 5414a12
1 = 5a12
a12 = 5
a1 = √5
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
סעיף ב – הערך של a1 · המשך
a1 = √5
או
a1 = −√5
עם q = 14 חיובית: אם a1 שלילי, האיברים שליליים ומתקרבים ל־0 – כלומר עולים. הסדרה יורדת, ולכן a1 חיובי:
a1 = √5
✅ פתרון סופי: a1 = √5
סעיף ג – bn באמצעות n
an = √5 · (14)n−1
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an+1 = √5 · (14)n
an · an+1 = 5 · (14)n−1+n
📐 כפל חזקות
= 5 · (14)2n−1
bn = 545 · (14)2n−1
bn = 14 · 42n−1
📐 איבר כללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
📐 כפל חזקות
am · ak = am+k
סעיף ג – bn באמצעות n · המשך
bn = 14 · 42n−1
bn = 42n−1−1 = 42n−2
📐 חילוק חזקות
bn = (42)n−1 = 16n−1
בדיקה: n = 1: 160 = 1 = b1 ✓
✅ פתרון סופי: bn = 16n−1
📐 חילוק חזקות
amak = am−k
סעיף ד – הוכחת הסכום
לפי סעיף ג, bn = 16n−1. זו סדרה הנדסית: איבר ראשון b1 = 1 ומנה 16, כי:
bn+1bn = 16n16n−1 = 16
נשתמש בנוסחת הסכום של n איברים ראשונים בסדרה הנדסית:
b1 + ... + bn
📐 סכום סדרה הנדסית
= 1 · (16n − 1)16 − 1
= 16n − 115 ✓
📐 סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1
סעיף ד – הוכחת הסכום · המשך
= 16n − 115 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: b1 + ... + bn = 16n − 115
📌 סיכום התשובות
סעיף א
q = 14
סעיף ב
a1 = √5
סעיף ג
bn = 16n−1
סעיף ד
הוכחה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא